\exercice[style=R,N=4,verif]{Calcul des valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{5}$, $\cos \frac{2\pi}{5}$ et $\cos \frac{4\pi}{5}$}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C\times\C$ le système : 
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u+v=-\frac{1}{2}
\\
uv=-\frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\]

\item On pose $\omega = \e^{i\frac{2\pi}{5}}$. Démontrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$.\\En déduire que $\cos \dfrac{2\pi}{5} + \cos \dfrac{4\pi}{5}=-\dfrac{1}{2}$.

\item Démontrer que : 
\[ 
\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} + \sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}
\]
et
\[
\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5}\sin\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{4\pi}{5}.
\]

\item En déduire que $\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{4}$.

\item Démontrer alors que :
\[ \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \qquad \textrm{et} \qquad \cos\frac{4\pi}{5}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.\]

\item \textit{Pour cette question, on admettra que pour tout nombre $a$,}
\[ \cos 2a = 2\cos^2a-1.\]
Déduire de la question précédente que :
\[ \cos^2\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}\;,\]
puis en déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{5}$.
\end{enumerate}
