\exercice[style=R,N=3,verif]{Théorème de Van Aubel}

Soit ABCD un quadrilatère quelconque de sens direct.

Sur [AB], [BC], [CD] et [DA], on construit quatre carrés (extérieurs à ABCD) de centres respectifs P, Q, R et S.

Le but de l'exercice est de démontrer que les diagonales de PQRS sont perpendiculaires et de même longueur. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.33]
\tkzInit
\tkzDefPoint[label=left:$A$](0,0){A}
\tkzDefPoint[label=right:$B$](7,-1){B}
\tkzDefPoint[label=below:$C$](5,2){C}
\tkzDefPoint[shift={(0,1.5)},label=above:$D$](1,2.5){D}
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\tkzDefPointBy[rotation=center A angle 90](D)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center D angle -90](A)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (A) -- (Z) -- (Y) -- (D);
\draw[dotted] (A) -- (Y);
\draw[dotted] (D) -- (Z);
\tkzDefMidPoint(D,Z)
\tkzGetPoint{S}
\tkzLabelPoint[above left](S){S}
\tkzDefPointBy[rotation=center D angle 90](C)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center C angle -90](D)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (D) -- (Z) -- (Y) -- (C);
\draw[dotted] (C) -- (Z);
\draw[dotted] (D) -- (Y);
\tkzDefMidPoint(D,Y)
\tkzGetPoint{R}
\tkzLabelPoint[above](R){R}
\tkzDefPointBy[rotation=center C angle 90](B)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center B angle -90](C)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (C) -- (Z) -- (Y) -- (B);
\draw[dotted] (B) -- (Z);
\draw[dotted] (C) -- (Y);
\tkzDefMidPoint(C,Y)
\tkzGetPoint{Q}
\tkzLabelPoint[above right](Q){Q}
\tkzDefPointBy[rotation=center B angle 90](A)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center A angle -90](B)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (B) -- (Z) -- (Y) -- (A);
\draw[dotted] (A) -- (Z);
\draw[dotted] (B) -- (Y);
\tkzDefMidPoint(B,Y)
\tkzGetPoint{P}
\tkzLabelPoint[below](P){P}
\draw[thick,blue] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) -- cycle;
\draw[dotted,blue] (S) --(Q);
\draw[dotted,blue] (P) --(R);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On note $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$, $r$ et $s$ les affixes respectives des points A, B, C, D, P, Q, R et S dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ de sens direct.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a : $p=\dfrac{a-\i b}{1-\i}$.

\'Etablir des relations analogues pour $q$, $r$ et $s$.

\item Calculer $\dfrac{s-q}{r-p}$ puis conclure.
\end{enumerate}
