\exercice[style=R,N=3,verif]{Point de Vecten}

Soit ABC un triangle quelconque de sens direct.

On construit trois carrés de centres respectifs P, Q et R qui s'appuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC] et [CA].

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzInit
\tkzDefPoint[label=above:$A$](0,0){A}
\tkzDefPoint[label=below left:$B$](-2,-2){B}
\tkzDefPoint[label=below right:$C$](5,-2){C}
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\tkzDefPointBy[rotation=center B angle 90](A)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center A angle -90](B)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (A) -- (Y) -- (Z) -- (B);
\draw[dotted] (A) -- (Z);
\draw[dotted] (B) -- (Y);
\tkzDefMidPoint(A,Z)
\tkzGetPoint{P}
\tkzLabelPoint[above left](P){P}

\tkzDefPointBy[rotation=center A angle 90](C)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center C angle -90](A)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (A) -- (Z) -- (Y) -- (C);
\draw[dotted] (A) -- (Y);
\draw[dotted] (C) -- (Z);
\tkzDefMidPoint(C,Z)
\tkzGetPoint{R}
\tkzLabelPoint[above](R){R}

\tkzDefPointBy[rotation=center C angle 90](B)
\tkzGetPoint{Z}
\tkzDefPointBy[rotation=center B angle -90](C)
\tkzGetPoint{Y}
\draw (B) -- (Y) -- (Z) -- (C);
\draw[dotted] (B) -- (Z);
\draw[dotted] (C) -- (Y);
\tkzDefMidPoint(B,Z)
\tkzGetPoint{Q}
\tkzLabelPoint[below](Q){Q}

\draw[thick,blue] (P) -- (Q) -- (R) -- cycle;
\draw[dotted,red] (A) -- (Q);
\draw[dotted,red] (B) -- (R);
\draw[dotted,red] (C) -- (P);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

On note $a$, $b$, $c$, $p$, $q$ et $r$ les affixes respectives des points A, B, C, P, Q et R dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ de sens direct.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABC et PQR ont le même centre de gravité.
\item Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a : $p=\dfrac{a-\i b}{1-\i}$.\\
\'Etablir des relations analogues pour $q$ et $r$.
\item Démontrer que les droites (AQ) et (PR) sont perpendiculaires.\\En déduire que les droites (AQ), (BR) et (CP) sont concourantes. Ce point de concours est appelé le \textit{point de Vecten} du triangle ABC.
\end{enumerate}
