\partie{A}

\begin{enumerate}
\item UVW est équilatéral de sens direct donc U est l'image de W par la rotation de centre V et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Ainsi : 
$$u-v=\e^{\i\frac{\pi}{3}}(w-v)=-\j^2(w-v)$$ La réciproque est évidente.

\item D'après ce qui précède, on a $u-v=-\j^2(w-v)$. Donc :
\[
u+(-1-\j^2)v+\j^2w=0.
\]
Or, $1+\j+\j^2=0$ donc :
\[
\boxed{u+\j v+\j^2w=0}
\]
\end{enumerate}

\partie{B}

Par hypothèse, on a :
\begin{eqnarray}
a-w=\j(b-w)\label{ts-complexes-06-eq1}\\
b-u=\j(c-u)\label{ts-complexes-06-eq2}\\
c-v=\j(a-v)\label{ts-complexes-06-eq3}
\end{eqnarray}

D'où : \[ a+b+c-(u+v+w)=\j\big(a+b+c-(u+v+w)\big).\]
Donc : \[ a+b+c=u+v+w.\]
Ainsi, \underline{ABC et UVW ont le même centre de gravité}.

\medskip

De légalité (\ref{ts-complexes-06-eq1}), on déduit : 
\[ w=\frac{a-\j b}{1-\j}.\]
De légalité (\ref{ts-complexes-06-eq2}), on déduit : 
\[ u=\frac{b-\j c}{1-\j}.\]
De légalité (\ref{ts-complexes-06-eq3}), on déduit : 
\[ v=\frac{c-\j a}{1-\j}.\]

D'où : 
\[
u+\j v+\j^2w=\frac{a-\j b+\j b-\j^2c+\j^2c-a}{1-\j}=0.\]
\underline{Donc UVW est équilatéral de sens direct.}