\exercice[style=R,N=4,verif]{Théorème de Napoléon}

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Ruv de sens direct.

\partie{A}

On note $\j=\jexp$. Soient U, V et W trois points du plan d'affixes respectives $u$, $v$ et $w$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'équivalence suivante : UVW équilatéral de sens direct $\Longleftrightarrow u-v=-\j^2(w-v)$.
\item Démontrer l'équivalence suivante : UVW équilatéral de sens direct $\Longleftrightarrow u+\j v+\j^2w=0$.
\end{enumerate}

\partie{B}

Soit ABC un triangle quelconque de sens direct. On construit les points P, Q et R tels que BPC, CQA et ARB soient équilatéraux de sens direct.\\
On note U, V et W les centres de gravité respectifs de BPC, CQA et ARB.

\medskip

Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité que ABC.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint[label=above:$A$](0,0){A}
\tkzDefPoint[label=left:$B$](-3,-2){B}
\tkzDefPoint[label=right:$C$](2,-2){C}

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

\tkzDefPointBy[rotation=center B angle 60](A)
\tkzGetPoint{R}
\tkzLabelPoint[above left](R){R}
\draw (B) -- (R) -- (A);


\tkzDefPointBy[rotation=center A angle 60](C)
\tkzGetPoint{Q}
\tkzLabelPoint[above right](Q){Q}
\draw (A) -- (Q) -- (C);

\tkzDefPointBy[rotation=center C angle 60](B)
\tkzGetPoint{P}
\tkzLabelPoint[below](P){P}
\draw (B) -- (P) -- (C);

\tkzDefBarycentricPoint(B=1,R=1,A=1)
\tkzGetPoint{W}


\tkzDefBarycentricPoint(C=1,Q=1,A=1)
\tkzGetPoint{V}


\tkzDefBarycentricPoint(B=1,C=1,P=1)
\tkzGetPoint{U}

\tkzLabelPoints(U)
\tkzLabelPoint[above left](W){W}
\tkzLabelPoint[above right](V){V}
\draw[thick,blue] (U) -- (V) -- (W) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}