\exercice[style=R,N=5,verif]{\'Equation � coefficients complexes et application}

\partie{A}

On consid�re dans $\C$ l'�quation : 

\[ 
(E) : \frac{1-\i}{2}z^2-\sqrt{3}z+1+\i=0 \qquad \text{o� } \i^2=-1. 
\]

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z)=\frac{1-\i}{2}z^2-\sqrt{3}z+1+\i$.


Montrer que le discriminant de $P$ est : $\Delta = -1$.

\item On note $A$ et $B$ les points d'affixes $z_A$ et $z_B$, o� $z_A$ est la solution de l'�quation $(E)$ dont la partie imaginaire est la plus grande.

Donner l'�criture alg�brique de $z_A$.
\item Calculer $\arg\left(\dfrac{\sqrt{3}+\i}{1-\i}\right)$.
\item En d�duire l'�criture exponentielle de $z_A$. 
\item Donner alors une valeur exacte de $\cos \dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$.
\end{enumerate}

\partie{B}

Le plan est rapport� � un rep�re orthonormal direct \Ruv.

On consid�re l'application $\F$ d�finie par :
\[
	\begin{array}{rccl}
	\F : & \C & \longrightarrow & \C\\
	& z & \longmapsto & \dfrac{\sqrt{3}}{6}(1-\i)z^2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}(1+\i)
	\end{array}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que chercher les points fixes de $\F$, c'est-�-dire les nombres $z$ tels que $f(z)=z$, est �quivalent � r�soudre l'�quation $(E)$ de la partie A.

Donner alors les points fixes de $\F$.

\item On note $z'=\F(z)$, o� $z=x+it$ est l'affixe d'un point de la droite parall�le � l'axe des ordonn�es passant par $A$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
\item Montrer que $z'=a+\i b$, o� : 
\[a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}t-\dfrac{\sqrt{3}}{6}t^2\quad\text{et }\quad b=\dfrac{\sqrt{3}}{6}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}t+\dfrac{\sqrt{3}}{6}t^2.\]
\end{enumerate}

\item \`A l'aide d'un logiciel, nous avons trac� l'ensemble des points d'affixe $z'$ pour $t \in \intervFF{-3}{2}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\foreach \x in {2,1,-1,-2,-3}
{
	\draw[color=gray,dotted] (\x,-2) -- (\x,4);
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[color=gray,dotted] (2,\y) -- (-3,\y);	
	\draw[thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny\y};	
}
\draw[thick] (2,0) -- (-3,0);
\draw[thick] (0,-2) -- (0,4);
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[domain=-3:3,smooth,variable=\t] plot ({(-sqrt(3)/6)*\t*\t+(3-sqrt(3))*\t/6+sqrt(3)/2-0.25},{(sqrt(3)/6)*\t*\t+(3-sqrt(3))*\t/6+0.25+sqrt(3)/6});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Expliquer comment, � l'aide de cet ensemble, construire uniquement au compas le point~A.
\end{enumerate}
