\exercice[style=R,N=3,verif]{Construction d'un pentagone régulier}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ruv. L'unité graphique est 4 cm. On pose :
\[ 
w=\e^{\i\frac{2\pi}{5}}.
\]

\begin{enumerate}
\item Simplifier $w^5$ puis calculer $1+w+w^2+w^3+w^4$.
\item Monter que pour tout nombre complexe $z$ non nul,
\[
\dfrac{1}{z^2}\left(1+z+z^2+z^3+z^4\right)=\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)-1.
\]
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans \C{} l'équation :
\[ Z^2+Z-1=0.\]
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
\end{enumerate}

\item On note K, A et B les points d'affixes respectives $-\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}\i$ et $w$.\\
Soit $\mathscr{C}$ le cercle de centre K passant par A.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$.
\item Le cercle $\mathscr{C}$ coupe l'axe $\left(O~;\vv{u}\right)$ en deux points H et H' (H étant d'abscisse positive).\\
Montrer que H a pour abscisse $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
\item En déduire une construction géométrique simple sur point B.

Achever la construction du pentagone régulier de centre O dont B est un sommet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage