\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Voir figure en fin de correction.

B et C sont alignés car $z_B=-z_C$.

\item B' a pour affixe :
\begin{align*}
z_{B'} & =\dfrac{(1+\i)^2}{\i-(1+\i)}\\
& = \dfrac{1+2\i-1}{-1}\\
\Aboxed{z_{B'} & = -2\i}
\end{align*}

C' a pour affixe :
\begin{align*}
z_{C'} & =\dfrac{(-1-\i)^2}{\i-(-1-\i)}\\
& = \dfrac{1+2\i-1}{1+2\i}\\
& = \dfrac{2\i(1-2\i)}{(1+2\i)(1-2\i)}\\
& = \dfrac{2\i+4}{1^2+2^2}\\
\Aboxed{z_{C'} & = \dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{5}\i}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item On résout l'équation $f(z)=z$ :
\begin{align*}
f(z)=z & \iff \dfrac{z^2}{\i-z}=z\\
& \iff z^2=z(\i-z)\\
& \iff 2z^2-\i z=0\\
& \iff z(2z-\i)=0\\
& \iff z=0 \quad\text{ou}\quad z=\frac{1}{2}\i
\end{align*}

\underline{Par conséquent, $f$ admet deux points fixes d'affixes respectives 0 et $\frac{1}{2}\i$.}

\item Les points B, O et C sont alignés mais leurs images ne le sont pas : $f$ ne conserve donc pas l'alignement donc ne conserve pas le milieu.

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
x'+\i y' & = \dfrac{(x+\i y)^2}{\i-(x+\i y)}\\
& = \dfrac{x^2-y^2+2xy\i}{-x+(1-y)\i}\\
& = \dfrac{(x^2-y^2+2xy\i)(-x-(1-y)\i)}{(-x+(1-y)\i)(-x-(1-y)\i)}\\
& = \dfrac{-x(x^2-y^2)+2xy(1-y)+(2x^2y-(1-y)(x^2-y^2)\i}{(-x)^2+(1-y)^2}
\end{aligned}$

Ainsi, 
\[x'=\dfrac{-x(x^2-y^2)+2xy(1-y)}{x^2+(1-y)^2}\;,\] soit 
\[x'=\dfrac{-x(x^2-y^2)-2xy(y-1)}{x^2+(1-y)^2}\;,\]
ou encore :
\[ x'=\dfrac{-x(x^2-y^2+2y^2-2)}{x^2+(1-y)^2}\;,\]
c'est-à-dire :
\[
\boxed{x'=\dfrac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2}}
\]

\item Pour que $z'$ soit un imaginaire pur, il faut $x'=0$ soit :

\begin{align*}
& -x(x^2+y^2-2y)=0\\
\iff\ & 
\left(
\begin{array}{l}
x=0\\
\text{ou}\\
x^2+y^2-2y=0
\end{array}
\right.\\
\iff\ & 
\left(
\begin{array}{l}
x=0\\
\text{ou}\\
(x-0)^2+(y-1)^2=1^2
\end{array}
\right.\\
\end{align*}

Ainsi, $\mathscr{E}$ est l'union de l'axe $\left(\text{O}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{u}\right)$ et du cercle de centre A et de rayon 1 (représenté en bleu dans le repère).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.7]
\draw[gray!20] (-2,-2.2) grid (2,2.2);
\draw[thick,blue] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick] (0,-2.2) -- (0,2.2);
\draw[->,very thick,>=stealth',red] (0,0) -- (1,0) node[below,midway] {$\vv{u}$};
\draw[->,very thick,>=stealth',red] (0,0) -- (0,1) node[left,midway] {$\vv{v}$};
\clip (-2,-2.5) rectangle (2,2);
\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(0,1){A}
\tkzDefPoint(1,1){B}
\tkzDefPoint(-1,-1){C}
\tkzDefPoint(0,-2){B'}
\tkzDefPoint(0.8,0.4){C'}
\tkzDrawPoints(A,B,C,B',C')
\tkzLabelPoints(O,A,B,C,B',C')
\tkzDrawCircle[color=blue](A,O)
\node[blue] at (-0.8,0.2) {$\mathscr{E}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}