\exercice[style=R,N=3,verif]{Application  $z\mapsto\frac{z^2}{\i-z}$}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ruv{}. Soient A, B et C les points d'affixes respectives $\i$ , $1+\i$ et $-1-\i$.

On appelle $f$ l'application du plan privé de A dans lui-même qui, à tout point M d'affixe $z$ ($z\neq\i$) associe le point M' d'affixe $z'$ définie par :
\[
z'=\dfrac{z^2}{\i-z}.
\]

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. Que peut-on dire des points B et C ?
\item Déterminer les affixes des points B' et C' images de B et C par l'application $f$.

Placer ces points.
\end{enumerate}

\item Déterminer les affixes des points invariants par $f$ (les points M vérifiant $f(\text{M})=\text{M}$).
\item L'application $f$ conserve-t-elle l'alignement ? le milieu ?
\item On pose $z=x+\i y$ et $z'=x'+\i y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que :
\[ x'=\dfrac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2}.\]
\item En déduire l'ensemble $\mathscr{E}$ des points M($z$) tels que $z'$ soit un imaginaire pur.

Représenter l'ensemble $\mathscr{E}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}