\begin{enumerate}
\item On sait que quatre points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si ils forment deux angles de m\^eme mesure qui interceptent le m\^eme arc de cercle.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\draw (170:2cm) node[above left] {C} -- (80:2cm) node[above right] {A} -- (225:2cm) node[below] {D};
\draw (170:2cm) -- (10:2cm) node[above right] {B} -- (225:2cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

En consid�rant, comme sugg�r� dans l'�nonc�, les angles \angleor{AC}{AD} et \angleor{BC}{BD}, on peut alors �crire :
\begin{align*}
\text{A, B, C, D cocycliques} & \iff \angleor{AC}{AD}=\angleor{BC}{BD}\mod\pi\\
& \iff \arg\left(\dfrac{d-a}{c-a}\right)=\arg\left(\dfrac{d-b}{c-b}\right)\mod\pi\\
& \iff \arg\left(\dfrac{d-a}{c-a}\right)-\arg\left(\dfrac{d-b}{c-b}\right)=0\mod\pi\\
& \iff \arg\left(\dfrac{\frac{d-a}{c-a}}{\frac{d-b}{c-b}}\right)=0\mod\pi\\
& \iff \arg\left(\dfrac{d-a}{c-a}\times\dfrac{c-b}{d-b}\right)=0\mod\pi\\
& \iff \arg\left(\dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}\right)=0\mod\pi\\
\Aboxed{\text{A, B, C, D cocycliques}& \iff \dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}\in\R}
\end{align*}

\newpage

\item Calculons :
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
d-a & =3+\i+\sqrt{10}\e^{\frac{4\i\pi}{3}}-4-4\i\\
& = 3+\i+\sqrt{10}\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+\i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)-4-4\i\\
& = 3+\i-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\dfrac{\sqrt{30}}{3}-4-4\i\\
& = -1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\left(\dfrac{\sqrt{30}}{2}+3\right)
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
d-b & =3+\i+\sqrt{10}\e^{\frac{4\i\pi}{3}}-6-2\i\\
& = 3+\i-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\dfrac{\sqrt{30}}{3}-6-2\i\\
& = -3-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\left(\dfrac{\sqrt{30}}{2}+1\right)
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
c-b & = 2\i-6-2\i\\
& = -6
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
c-a & = 2\i-4-4\i\\
& = -4-2\i
\end{aligned}$
\end{itemize}

Donc,
\begin{align*}
& \dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}\\
=& \dfrac{-6\left[-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\left(\dfrac{\sqrt{30}}{2}+3\right)\right]}{\left[-3-\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\i\left(\dfrac{\sqrt{30}}{2}+1\right)\right](-4-2\i)}\\
= &\dfrac{6+3\sqrt{10}+\i(3\sqrt{30}+18)}{12+2\sqrt{10}-\sqrt{30}-2+\i(2\sqrt{30}+4+6+\sqrt{10})}\\
=& \dfrac{\left[6+3\sqrt{10}+\i(3\sqrt{30}+18)\right]\left[10+2\sqrt{10}-\sqrt{30}-\i(10+\sqrt{10}+2\sqrt{30})\right]}{\left[10+2\sqrt{10}-\sqrt{30}+\i(10+\sqrt{10}+2\sqrt{30})\right]\left[10+2\sqrt{10}-\sqrt{30}-\i(10+\sqrt{10}+2\sqrt{30})\right]}\\
\end{align*}

Le num�rateur devient :
\begin{multline*}
(6+3\sqrt{10})(10+2\sqrt{10}-\sqrt{30})+(3\sqrt{30}+18)(10+\sqrt{10}+2\sqrt{30})\\
+\i(3\sqrt{30}+18)(10+2\sqrt{10}-\sqrt{30})-\i(10+\sqrt{10}+2\sqrt{30})(6+3\sqrt{10})
\end{multline*}

Sa partie imaginaire est :
\begin{multline*}
(30\sqrt{30}+60\sqrt{3}-90+180+36\sqrt{10}-18\sqrt{30})-(60+30\sqrt{10}+6\sqrt{10}+30+12\sqrt{30}+60\sqrt{3})
\end{multline*}

qui s'annule !

Par cons�quent, le num�rateur est r�el, de m\^eme que le d�nominateur.

Donc, $\dfrac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}$ est r�el, ce qui signifie que A, B, C et D sont cocycliques.

\item On peut constater que :
\[d-(3+\i)=\sqrt{10}\e^{\frac{4\i\pi}{3}}\]
donc 
\[ \arg(d-(3+\i)=\dfrac{4\pi}{3}.\]
D'o� :
\[ \uline{\omega=3+\i}.\]

\item D'apr�s la question pr�c�dente, 
\[
\vert d-\omega \vert = \left\vert\sqrt{10}\e^{\frac{4\i\pi}{3}}\right\vert=\sqrt{10}.
\]

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\vert a-\omega\vert & =\vert 4+4\i-3-\i\vert\\
& = \vert 1+3\i\vert\\
& = \sqrt{1^2+3^2}\\
& = \sqrt{10}
\end{aligned} $

\item $\begin{aligned}[t]
\vert b-\omega\vert & =\vert 6+2\i-3-\i\vert\\
& = \vert 3+\i\vert\\
& = \sqrt{10}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\vert c-\omega\vert & =\vert 2\i-3-\i\vert\\
& = \vert -3+\i\vert\\
& = \sqrt{10}
\end{aligned}$
\end{itemize}

Ainsi, {$\rm\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D=\sqrt{10}$, donc \uline{A, B, C et D sont sur le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{10}$.}}

\item $\begin{aligned}[t]
\angleor{\Omega A}{\Omega C} & = \arg\left(\dfrac{c-\omega}{a-\omega}\right)\\
& = \arg\left(\dfrac{2\i-3-\i}{4+4\i-3-\i}\right)\\
& = \arg\left(\dfrac{(-3+\i)(1-3\i)}{(1+3\i)(1-3\i)}
\right)\\
& = \arg\left(\dfrac{-3+3+\i+9\i}{1+9}\right)\\
& = \arg(\i)\\
& = \dfrac{\pi}{2}
\end{aligned}$

\uline{Le triangle A$\Omega$C est donc rectangle en $\Omega$.}
\end{enumerate}