\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(z_\text{A}) & = \dfrac{1-\i}{2+\i}\\
& = \dfrac{(1-\i)(2-\i)}{(2+\i)(2-\i)}\\
& = \dfrac{1-\i-2\i+\i^2}{4+1}\\
\Aboxed{f(z_\text{A})& = -\dfrac{3}{5}\i}
\end{aligned}$
\newpage
\item $\begin{aligned}[t]
f(z)=z & \iff \dfrac{\overline{x+\i y}}{1+x+\i y}=x+\i y\\
& \iff x-\i y = (x+\i y)(1+x+\i y)\\
& \iff x-\i y = x(1+x)+\i xy+ \i y(1+x)-y^2\\
& \iff x-\i y = x+x^2-y^2+y\i(2x+1)\\
& \iff x^2-y^2+2y\i(x+1)=0\\
& \iff \begin{cases}x^2-y^2=0\\y=0 \text{ ou } x+1=0\end{cases}
\end{aligned}$

\uline{Les invariants de $f$ sont donc : $z_1=0$, $z_2=-1+\i$ et $z_3=-1+\i$.}

\item
\begin{enumerate}
\item $|z_\text{A}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

Donc $z_\text{A}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, soit $\boxed{z_\text{A}=\sqrt{2}\e^{\i\frac{\pi}{4}}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
f(z_\text{M}) & = \dfrac{\sqrt{2}\e^{\i\theta}}{1+\sqrt{2}\e^{\i\theta}}\\
& = \dfrac{\left(\sqrt{2}\e^{\i\theta}\right)\left(1+\sqrt{2}\e^{-\i\theta}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\e^{\i\theta}\right)\left(1+\sqrt{2}\e^{-\i\theta}\right)}\\
& = \dfrac{\sqrt{2}\e^{-\i\theta+2\e^{-2\i\theta}}}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}\\
& = \dfrac{\sqrt{2}\cos\theta+2\cos(2\theta)-\i(\sqrt{2}\sin\theta+2\sin(2\theta))}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}\\
\Aboxed{f(z_\text{M}) & = \dfrac{4\cos^2\theta+\sqrt{2}\cos\theta-2}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}-\i\dfrac{\sin\theta(\sqrt{2}+4\cos\theta)}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}}
\end{aligned}$

car $\cos(2\theta)=\cos^2\theta-1$ et $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$.

\item Remarquons que la partie réelle de $f(z_\text{M})$ ne dépend que de $\cos\theta$ ; donc, elle est paire, ce qui nous pousse à remplacer $\theta$ par $-\theta$ : on obtient alors :
\begin{align*}
f\left(\sqrt{2}\e^{-\i\theta}\right) & =\dfrac{4\cos^2(-\theta)+\sqrt{2}\cos(-\theta)-2}{3+2\sqrt{2}\cos(-\theta)}-\i\dfrac{\sin(-\theta)(\sqrt{2}+4\cos(-\theta))}{3+2\sqrt{2}\cos(-\theta)}\\
& = \dfrac{4\cos^2\theta+\sqrt{2}\cos\theta-2}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}+\i\dfrac{\sin\theta(\sqrt{2}+4\cos\theta)}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}
\end{align*}

On constate donc que la partie réelle est inchangée et que la partie imaginaire est devenue son opposée ; cela signifie donc que $\mathscr{E}$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

\newpage

\item Par symétrie, on obtient :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1.5,0) -- (4,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[violet,thick,dotted] plot[domain=0:3.14159,parametric,samples=150] function{(4*cos(t)*cos(t)+sqrt(2)*cos(t)-2)/(3+2*sqrt(2)*cos(t)),sin(t)*(sqrt(2)+4*cos(t))/(3+2*sqrt(2)*cos(t))};
\draw[purple,thick] plot[domain=3.14159:6.283,parametric,samples=150] function{(4*cos(t)*cos(t)+sqrt(2)*cos(t)-2)/(3+2*sqrt(2)*cos(t)),sin(t)*(sqrt(2)+4*cos(t))/(3+2*sqrt(2)*cos(t))};
\draw[red] plot[domain=0:6.283,parametric,samples=100] function{sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t)};
\node[red] at (-45:1.7) {$\Gamma$};
\node[purple] at (45:3.5) {$\mathscr{E}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}