\newpage
\exercice[style=R,N=4,verif]{Application  $z\mapsto\frac{\overline{z}}{1+z}$}

On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct \Ruv.

On considère l'application complexe de $\C\setminus\{-1\}$ dans $\C$ définie par :
\[ f\;:\;z \mapsto \frac{\overline{z}}{1+z}.\]

\begin{enumerate}
\item Soit A le point d'affixe $z_\text{A}=1+\i$.

Déterminer $f(z_\text{A})$ sous sa forme algébrique.

\item Déterminer les invariants de $f$, c'est-à-dire les nombres complexes $z=x+\i y$ tels que $f(z)=z$.

\item On considère le cercle $\Gamma$ de centre O passant par A. 
\begin{enumerate}
\item Mettre $z_\text{A}$ sous la forme exponentielle.
\item On considère un point M d'affixe $z_\text{M}=\sqrt{2}\e^{\i\theta}$, $\theta\in\intervFF{0}{2\pi}$ sur $\Gamma$.

Montrer que :
\[f(z_\text{M})=\dfrac{4\cos^2\theta+\sqrt{2}\cos\theta-2}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}-\i\dfrac{\sin\theta(\sqrt{2}+4\cos\theta)}{3+2\sqrt{2}\cos\theta}.\]

\item On note $\mathscr{E}$ l'ensemble image de $\Gamma$ par $f$.

Montrer que $\mathscr{E}$ est symétrique par rapport à l'axe $\left(\text{O}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{u}\right)$.

\item On a tracé l'ensemble $\mathscr{E}$ pour $\theta$ variant de $0$ à $\pi$. Compléter la figure afin d'obtenir $\mathscr{E}$ en entier, puis tracer $\Gamma$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1.5,0) -- (4,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[blue,thick] plot[domain=0:3.14159,parametric,samples=150] function{(4*cos(t)*cos(t)+sqrt(2)*cos(t)-2)/(3+2*sqrt(2)*cos(t)),sin(t)*(sqrt(2)+4*cos(t))/(3+2*sqrt(2)*cos(t))};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}