\begin{enumerate}
\item $z^2+z+1=0$. Le discriminant de $z^2+z+1$ est:
\[
\Delta=1^2-4\times1\times1=-3<0
\]
donc l'équation admet deux solutions complexes :
\[
\boxed{z_1=\dfrac{-1-\i\sqrt3}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-1+\i\sqrt3}{2}}
\]

\item $-3z^2+5z-6=0$. Le discriminant de $-3z^2+5z-6$ est :
\[
\Delta=5^5-4\times(-3)\times(-6)=25-72=-47<0
\]
donc l'équation admet deux racines complexes :
\[
z_1=\dfrac{-5-\i\sqrt{47}}{-6}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-5+\i\sqrt{47}}{-6}
\]
soit:
\[
\boxed{z_1=\dfrac{5+\i\sqrt{47}}{6}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{5-\i\sqrt{47}}{6}}
\]

\item $2z^2-3z+\dfrac{17}{4}=0$. Le discriminant de $2z^2-3z+\dfrac{17}{4}$ est :
\[
\Delta=(-3)^2-4\times2\times\dfrac{17}{4}=9-34=-25<0
\]
donc l'équation admet deux racines complexes :
\[
z_1=\dfrac{3-\i\sqrt{25}}{4}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{3+\i\sqrt{25}}{4}
\]
soit:
\[
\boxed{z_1=\dfrac{3-5\i}{4}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{3+5\i}{4}}
\]

\item $100z^2+20z+37=0$. Le discriminant de $100z^2+20z+37$ est :
\[
\Delta=(20)^2-4\times100\times37=400-400\times37=-400\times36=-(20\times6)^2=-120^2<0
\]
donc l'équation admet deux racines complexes :
\[
z_1=\dfrac{-20-120\i}{200}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-20+120\i}{200}
\]
soit:
\[
\boxed{z_1=\dfrac{-1-6\i}{10}\qquad\text{et}\qquad z_2=\dfrac{-1+6\i}{10}}
\]
\end{enumerate}

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