
\sectionnn{\'Etude générale de fonctions}

\exercice[style=R,N=2,verif]{Fonction $f:x\mapsto\frac{2x-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}$}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=\frac{2x-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{+\infty}{f(x)}.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sa dérivée est définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[ f'(x)=\dfrac{x+4\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)^2}.\]
\item Résoudre l'équation :
\[ X^2+4X-1=0\;,\]
puis en déduire le signe de $f'(x)$ ainsi que les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

Dresser alors un tableau de variations complet de la fonction $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

On veillera notamment à calculer la valeur de l'extremum de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}