\exercice[style=R,N=2,verif]{Fonctions $f:x\mapsto\sqrt{x^2+1}-2x$ et $g:x\mapsto\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur \R{} par :
\[ f(x)=\sqrt{x^2+1}-2x \qquad ; \qquad g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.\\
En déduire le sens de variations de $g$ sur \R.
\item Calculer \limite{x}{-\infty}{g(x)} et \limite{x}{+\infty}{g(x)}.
\item Montrer que $f'(x)=g(x)-2$.\\
En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur \R.
\item Monter que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{0}{1}, puis déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}