\begin{enumerate}
\item Calculons \limite{x}{0}{f(x)}. Pour cela, on écrit :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{x-2}{\sqrt{4-x}-2}\times\dfrac{\sqrt{4-x}+2}{\sqrt{4-x}+2}\\
& = \dfrac{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}{4-x-4}\\
& = \dfrac{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}{-x}
\end{align*}

\medskip

$\left.\begin{array}{r}
\limite{x}{0}{\left[(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)\right]}=-8\\
\limite[x>0]{x}{0}{(-x)}=0^-
\end{array}\right\}\Rightarrow \text{(par quotient) }\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=+\infty$

\medskip

$\left.\begin{array}{r}
\limite{x}{0}{\left[(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)\right]}=-8\\
\limite[x<0]{x}{0}{(-x)}=0^+
\end{array}\right\}\Rightarrow \text{(par quotient) }\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$

\medskip

$\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}\neq\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}$ donc \underline{$f$ n'est pas continue en 0}.

\item Calculons \limite{x}{2}{f(x)}.

\medskip

$\left.\begin{array}{l}
\limite{x}{2}{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}=0^-\\
\limite{x}{2}{(-x)}=-2
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\text{ (par quotient) }\limite{x}{2}{f(x)}=0$

\medskip

Ainsi, $f(2)=\limite{x}{2}{f(x)}$.\\
\underline{La fonction $f$ est donc continue en 0.}

\item La fonction $x\mapsto x-2$ est dérivable sur \R.\\
La fonction $x \mapsto \sqrt{4-x}-2$ est dérivable partout où $4-x>0$, donc pour $x<4$, et s'annule pour $x=0$.\\
La fonction $X \mapsto \dfrac{1}{X}$ est dérivable pour tout $X$ non nul.\\
Ainsi, $f$ est dérivable sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{4}.
\begin{itemize}
\item \textbf{Dérivabilité en 4.}\\
Le taux d'accroissement de $f$ en 0 est :
\begin{align*}
\tau(h)&=\dfrac{f(4-h)-f(4)}{h}\\
&=\dfrac{1}{h}\times\dfrac{2-h}{\sqrt{h}-2}\\
& = \dfrac{1}{h}\times\dfrac{2-h}{\sqrt{h}-2}\times\dfrac{\sqrt{h}+2}{\sqrt{h}+2}\\
& = \dfrac{1}{h}\times\dfrac{(2-h)\left(\sqrt{h}+2\right)}{h-4}
\end{align*}

Ainsi, $\limite[h>0]{h}{0}{\tau(h)}=-\infty$. \underline{La fonction $f$ n'est donc pas dérivable en 4.}

\item \textbf{Dérivabilité en 0.}\\
La fonction $f$ n'est pas continue en 0, donc \underline{elle n'est pas dérivable en 0}.
\end{itemize}

\item $\limite{x}{0}{f(x)}=\pm\infty$ donc la droite d'équation $x=0$ est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ (notée $\mathscr{C}$).\\
De plus, $\limite[h>0]{h}{0}{\tau(h)}=-\infty$ donc $\mathscr{C}$ admet une tangente verticale dirigée par le bas en 4.
\end{enumerate}
\newpage