
Posons $f(x)=3x^3-5x+1$.
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

$\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $f'(x)=9x^2-5$ d'o\`u le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/1.3,$f'(x)$/0.7,$f$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{\sqrt5}{3}$,$\dfrac{\sqrt5}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/${3,48}$,-/$-{1,48}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
f\left(-\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx3,48\qquad ; \qquad f\left(\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx-1,48.
\]
\item Notons $I_1=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{\sqrt5}{3}}$, $I_2=\intervOO{-\dfrac{\sqrt5}{3}}{\dfrac{\sqrt5}{3}}$ et $I_3=\intervOO{\dfrac{\sqrt5}{3}}{+\infty}$.

$f$ est continue et strictement monotone sur $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$.

De plus, d'apr\`es les variations de $f$, $0\in f(I_k)$, $k=1,\ 2,\ 3$.

\medskip

Ainsi, d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires appliqu\'e sur chacun des intervalles $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$, l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution que chacun d'eux.

Donc l'\'equation $f(x)=0$ admet trois solutions r\'eelles :
\[
\boxed{\alpha\approx-1,381 \qquad;\qquad \beta\approx0,205\qquad;\qquad\gamma\approx1,176}
\]
\newpage
\end{itemize}