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\sectionnn{\'Etudes de fonctions}

\exercice[style=R,N=3,verif]{Fonction $f:x\mapsto\e^{2x}-(x+1)\e^x$}

{\color{red}\textit{Cet exercice fait appel au logarithme népérien (Partie B).}}

\partie{A : Démonstration de cours}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel positif ou nul $x$ : \[\e^x-\frac{x^2}{2} \geqslant 1.\]
\item En déduire $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\e^x}{x}$.
\end{enumerate}

\partie{B : \'Etude d'une fonction auxiliaire}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x)=2\e^x-x-2.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ puis en $+\infty$.
\item \'Etudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variations.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x=0$ est solution de l'équation $g(x)=0$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervOO{-1,6}{-1,5}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{C : \'Etude de la fonction principale}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\e^{2x}-(x+1)\e^x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ puis en $+\infty$.
\item Calculer $f'(x)$. Déduire de la partie B le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\item Montrer que : \[f(\alpha)=-\frac{\alpha^2+2\alpha}{4}\] où $\alpha$ est définie dans la partie précédente.\\
En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
\item Dresser un tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
