\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R, g_k(-x)=\e^{-k(-x)^2}=\e^{-kx^2}=g_k(x)$. Donc $g_k$ est paire.

\item $g_k$ est la composée d'une fonction polynôme ($u:x \mapsto -kx^2$) et d'une fonction exponentielle. Par conséquent, elle est dérivable sur $\R$ comme la composée de deux fonctions dérivables sur $\R$.
\begin{align*}
g_k^{\prime}(x) & =\left(\e^{u(x)}\right)^{\prime}\\
& =u^{\prime}(x)\e^{u(x)}\\
\Aboxed{g_k^{\prime}(x) &=-2kx\e^{-kx^2}}
\end{align*}

\item $\forall x \in \R_+,\ \e^{-kx^2}>0$ et $-2kx<0$. Ainsi, $g_k^{\prime}(x)<0$ sur $\R_+$. La fonction $g_k$ est donc strictement décroissante sur $\R_+$. Par parité, $g_k$ est donc croissante sur $\R_-$.

On a  $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (-kx^2)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \rightarrow -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g_k(x)=0$.

De plus, $g_k(0)=\e^{-k \times 0^2}=\e^0=1$. On a donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$g_k^{\prime}(x)$ / 1,
	$g_k$ / 2
}
{ $-\infty$ , 0 , $+\infty$ }
{ , + , z , - , }
{ -/$0$ ,  +/$1$, -/$0$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
g_k^{\prime\prime}(x) & =-2k\e^{-kx^2}-2kx\times (-2kx)\e^{-kx^2}\\
& =-2k\e^{-kx^2}(1-2kx^2)
\end{aligned}$.

Ainsi : 
\begin{align*}
g_k^{\prime\prime}(x)=0 & \Longleftrightarrow 1-2kx^2 = 0\\
& \Longleftrightarrow x^2 = \frac{1}{2k}\\
& \Longleftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2k}} \qquad \textrm{ou} \qquad x = -\frac{1}{\sqrt{2k}} (k>0)
\end{align*}

\item Nous avons les courbes suivantes :

\begin{center}
\shorthandoff{:}
\begin{tikzpicture}[yscale=4,xscale=2]
\draw[xstep=1cm,ystep=.2cm,gray,very thin,dotted](-4,-.5) grid (4,1.1);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0)--(4,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-.5)--(0,1.1);
\clip (-4,-.5) rectangle +(8,1.6);
\draw[samples=500,thick,draw=green!50!black] plot (\x,{exp(-.5*\x*\x)});
\draw[samples=500,thick,draw=orange!75!black] plot (\x,{exp(-\x*\x)});
\draw[samples=500,thick,draw=blue] plot (\x,{exp(-2*\x*\x)});
\draw[thick,draw=green!50!black] (2,1) -- (3,1) node[right,text=green!50!black] {$g_{\frac{1}{2}}$};
\draw[thick,draw=orange!75!black] (2,.8) -- (3,.8) node[right,text=orange!75!black] {$g_1$};
\draw[thick,draw=blue] (2,.6) -- (3,.6) node[right,text=blue] {$g_2$};
\draw[red] plot (\x,{-\x/(sqrt(2.71))+2/(sqrt(2.71))});
\draw[dashed,red,<->,>=stealth'] (0,.606) node[left,red,scale=.75] {$\frac{1}{\sqrt{\e}}$} -- (1,.606) -- (1,0) node[below,red,scale=.75] {1};
\node[red,right,scale=.75] at (3,-.4) {$(T)$};
\end{tikzpicture}
\shorthandon{:}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
h \leqslant k & \Leftrightarrow -k \leqslant -h\\
& \Leftrightarrow -kx^2 \leqslant -hx^2 \qquad \textrm{car } x^2 \geqslant 0\\
& \Leftrightarrow \e^{-kx^2} \leqslant \e^{-hx^2} \qquad \textrm{car la fonction exponentielle est strictement croissante}\\
& \Leftrightarrow g_k(x) \leqslant g_h(x)
\end{aligned}$

\item Une équation de la tangente $(T)$ à $\mathcal{C}_{g_{\frac{1}{2}}}$ au point d'abscisse $\alpha$ est :
\[ y = g_{\frac{1}{2}}^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)+g_{\frac{1}{2}}(\alpha) \]
\[y = -\e^{-\frac{1}{2}}(x-1)+\e^{-\frac{1}{2}}\]
\[ \boxed{y = -\frac{1}{\sqrt{\e}}x + \frac{2}{\sqrt{\e}}}.\]
\end{enumerate}
\newpage