\exercice[style=A,N=2,verif]{Courbe de Gauss}

Soit $k$ un réel strictement positif. On définit alors la fonction $g_k$ par : \[ g_k(x)=\e^{-kx^2}. \]

\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parité de la fonction $g_k$.
\item Démontrer que $g_k$ est dérivable et donner sa dérivée $g_k^{\prime}$.
\item \'Etudier le signe de $g_k^{\prime}(x)$ puis dresser le tableau de variation de $g_k$.
\item Exprimer $g_k^{\prime\prime}(x)$ et résoudre l'équation $g_k^{\prime\prime}(x)=0$.
\item Représenter les courbes de $g_{\frac{1}{2}}$, $g_1$ et $g_2$.
\item Démontrer que, sur \R : \[ h \leqslant g \Longleftrightarrow g_h \geqslant g_k.\]
\item Dans cette question, $k=\frac{1}{2}$. Soit $\alpha$ la solution positive de l'équation $g_k^{\prime\prime}(x)=0$.\\
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $g_k$ au point d'abscisse $\alpha$. Tracer $(T)$.
\end{enumerate}
\newpage