\begin{enumerate}
\item On a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,10);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{ \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x}; 
\draw (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x 00};}
\draw[thick,color=violet] plot[domain=0:10,samples=100] (\x,{0.01*exp(\x-sqrt(\x))});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{On peut alors conjecturer que $f$ est croissante sur \intervFO{0}{+\infty}.}


\item $f(x)= \e^{x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}$.\\
$\limite{x}{+\infty}{\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}=1$. Par cons�quent, $\limite{x}{+\infty}{x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}=+\infty$.\\
Or, $\limite{X}{+\infty}{\e^X}=+\infty$ donc :$\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.


\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\e^{x-\sqrt{x}}\\
& = \dfrac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\e^{x-\sqrt{x}}
\end{aligned}$

\medskip

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
f'(x)>0 & \Leftrightarrow 2\sqrt{x}-1>0\\
& \Leftrightarrow \sqrt{x}>\dfrac{1}{2}\\
& \Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4}
\end{aligned}$

D'o� le tableau ci-contre.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/1,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\frac{1}{4}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+}
\tkzTabVar{+/1,-/$\e^{-\frac{1}{4}}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

La conjecture faite � la question 1 n'�tait donc pas correcte.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\newpage