\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{x}}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{\e^x}=+\infty$.\\
Par produit, on déduit que $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.

\item $f'(x)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\e^x$, soit $\boxed{f'(x)=\left(\dfrac{1+2x}{2\sqrt{x}}\right)\e^x}$.

\item $f'(x)>0\Leftrightarrow1+2x>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$ d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+}
\tkzTabVar{-/0,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}