\begin{enumerate}
\item Posons $\varphi~:~x\mapsto\ln(1+x)-x$.

Alors, $\varphi'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}<0$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

Par conséquent, $\varphi$ est décroissante sur \intervFO{0}{+\infty}. Or, $\varphi(0)=0$ donc $\varphi(x)\leqslant0$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

\medskip

On en déduit donc que pour tout réel $x$ positif, $\ln(1+x)-x\leqslant0$, soit \underline{$\ln(1+x)\leqslant x$}.

\item $f_k^\prime(x)=\dfrac{\e^x+k}{\e^x+kx}-1=\dfrac{k-kx}{\e^x+kx}=\dfrac{k(1-x)}{\e^x+kx}$.

\medskip

$\e^x+kx>0$ pour $x>0$.

\medskip

Ainsi, $f_k(x)\geqslant0 \Leftrightarrow 1-x\geqslant0 \Leftrightarrow x \leqslant 1$. 

\medskip

\underline{Donc $f_k$ est croissante sur \intervFF{0}{1} et décroissante sur \intervFO{1}{+\infty}.}

\item $\begin{aligned}[t]
f_k(x) & = \ln\left(\e^x+kx\right)-x\\
& = \ln\left[\e^x\left(1+k\frac{x}{\e^x}\right)\right]-x\\
& = \ln\e^x+\ln\left(1+k\frac{x}{\e^x}\right)-x\\
& = x+\ln\left(1+k\frac{x}{\e^x}\right)-x\\
\Aboxed{f_k(x) & = \ln\left(1+k\frac{x}{\e^x}\right).}
\end{aligned}$

\medskip

D'après le cours, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\e^x}{x}}=+\infty$ donc $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{x}{\e^x}}=0$.

\underline{Ainsi, $\limite{x}{+\infty}{f_k(x)}=\ln1=0$.}

\item
\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.5,$f_k'(x)$/0.5,$f_k$/1}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/0,+/{\small $\ln(\e+k)-1$},-/0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
$\begin{aligned}
f_k(0) & =\ln(\e^0+k\times0)-0\\
& =\ln1\\
& =0.
\end{aligned}$
\end{minipage}

\item D'après la question précédente, $f_k(x)\leqslant\ln(\e+k)-1$.

Or, 
\begin{align*}
\ln(\e+k)-1 & =\ln\left[\e\left(1+\dfrac{k}{\e}\right)\right]-1\\
& =\ln\e+\ln\left(1+\dfrac{k}{\e}\right)-1\\
& = \ln\left(1+\dfrac{k}{\e}\right)\\
& \leqslant \dfrac{k}{\e}\quad\text{d'après la question 1 car }\dfrac{k}{\e}>0\\
\end{align*}
$\boxed{\text{Ainsi, }f_k(x)\leqslant\dfrac{k}{\e}.}$
\end{enumerate}

\item Une équation de la tangente à $\mathscr{C}_k$ au point d'abscisse $a$ est :
\[ y=f_k^\prime(a)(x-a)+f_k(a).\]
Donc, au point O ($a=0$), on a :
\begin{align*}
& y= f_k^\prime(0)(x-0)+f_k(0)\\
\Leftrightarrow\ & \boxed{y=kx}
\end{align*}
\end{enumerate}