\exercice[style=R,N=3,verif]{Fonction $f_k:x\mapsto\ln\left(\e^x+kx\right)-x$}

{\color{red}\textit{Cet exercice nécessite l'utilisation du logarithme népérien.}}

\medskip

Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_k$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[
f_k(x)=\ln\left(\e^x+kx\right)-x.
\]
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans le plan muni d'un repère  orthogonal \Rij.

\begin{enumerate}
\item En étudiant le sens de variation d'une fonction convenablement choisie, démontrer que pour tout réel positif $x$, 
\[ \ln(1 + x)\leqslant x.\]
\item Calculer $f_k^\prime(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} et en déduire le sens de variation de la fonction $f_k$.

\item Montrer que pour tout réel positif $x$,
\[
f_k(x)=\ln\left(1+k\frac{x}{\e^x}\right).
\]
En déduire la limite de $f_k$ en $+\infty$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f_k$.
\item Montrer que pour tout réel positif $x$,
\[
f_k(x)\leqslant \dfrac{k}{\e}.
\]
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathscr{T}_k$ à la courbe $\mathscr{C}_k$ au point O.
\end{enumerate}