\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{(x-2)}=+\infty$
\item $\limite{x}{+\infty}{\e^{-x}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{(2-\e^{-x})}=2$
\end{itemize}

Ainsi, par produit, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.

\item $f(x)=2x-2-x\e^{-x}+\e^{-x}$ donc :
\[
f(x)-(2x-2)=\dfrac{x}{\e^x}+\e^{-x}.
\]
Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{x}{\e^x}}=0$ (cours) et $\limite{x}{+\infty}{\e^{-x}}=0$ donc :
\[
\limite{x}{+\infty}{[f(x)-(2x-2)]}=0\;,
\]
ce qui signifie que \underline{la droite d'équation $y=2x-2$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en $+\infty$}.

\item $f(x)-(2x-2)=(1-x)\e^{-x}>0$ si $1-x>0$, soit si $x<1$.

\underline{Ainsi, $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\Delta$ sur \intervFF{0}{1} et au-dessous sur \intervFO{1}{+\infty}.}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=2-\e^{-x}$.\\
Ainsi, $f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\e^{-x}$.\\
D'où :
\begin{align*}
f'(x) & =2-\e^{-x}+(x-1)\e^{-x}\\
& = 2-\e^{-x}+x\e^{-x}-\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x)& = x\e^{-x}+2(1-\e^{-x}}
\end{align*}

\item Si $x>0$, alors $\e^{-x}>1$ et $1-\e^{-x}>0$.\\
De plus, $x\e^{-x}>0$ donc, par somme de termes positifs, $f'(x)>0$.

\item $f'(0)=0$.  

De la question précédente, on déduit que \underline{$f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}