\exercice[style=A,N=1,verif]{Fonction  $f:x\mapsto(x-1)\left(2-\e^{-x}\right)$}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=(x-1)\big(2-\e^{-x}\big).\]
Sa courbe représentative $\mathscr{C}$ est tracée dans le repère orthonormal page suivante.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-2$ est asymptote à $\mathscr{C}$.
\item \'Etudier la position relative de $\mathscr{C}$ et $\Delta$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=x\e^{-x}+2\left(1-\e^{-x}\right)$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)>0$.
\item Préciser la valeur de $f'(0)$ puis donner les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=0,xmax=7,ymin=-1,ymax=10]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\clip (0,-1) rectangle (6,10);
\draw[thick,color=violet] plot[domain=0:6,samples=100] (\x,{(\x-1)*(2-exp(-\x))});
\end{tikzpicture}
\end{center}


