\exercice[style=R,N=3,verif]{Fonction  $f(x)=(2x+1)\e^{-x}$}

\partie{A : �tude d'une fonction auxiliaire}

Soit $\varphi$ la fonction d�finie sur \R{} par :
\[ \varphi(x)=\left(x^2+x+1\right)\e^{-x}-1.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item D�terminer les limites de $\varphi$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item \'Etudier le sens de variations de $\varphi$ puis dresser son tableau de variations sur \R.
\end{enumerate}
\item D�montrer que l'�quation $\varphi(x)=0$ admet deux solutions dans \R, dont l'une dans l'intervalle \intervFO{1}{+\infty}, qui sera not�e $\alpha$.\\
D�terminer un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.
\item En d�duire le signe de $\varphi(x)$ sur \R{} et le pr�senter dans un tableau.
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B : �tude de la position relative de deux courbes}

Les fonctions $f$ et $g$ sont d�finies sur \R{} par :
\[
f(x)=(2x+1)\e^{-x}\qquad\text{et}\qquad g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}.
\]
Leurs courbes repr�sentatives dans un rep�re orthogonal  \Rij{} sont not�es respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ et sont repr�sent�es ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\tkzInit[xmin=-1,xmax=4,ymin=-1,ymax=2]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\clip (-1,-1) rectangle (4,2);
\draw[thick,color=violet] plot[domain=-1:4,samples=100] (\x,{(2*\x+1)*exp(-\x)});
\draw[thick,color=purple] plot[domain=-1:4,samples=100]
(\x,{(2*\x+1)/(\x*\x+\x+1)});
\node[purple] at (3.8,0.75) {$\mathscr{C}_g$};
\node[violet] at (-0.5,-0.7) {$\mathscr{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D�montrer que les deux courbes passent par le point A de coordonn�es \coord{0}{1} et admettent en ce point la m�me tangente.
\item 
\begin{enumerate}
\item D�montrer que, pour tout nombre r�el $x$, 
\[ f(x)-g(x)=\dfrac{(2x+1)\varphi(x)}{x^2+x+1}\]
o� $\varphi$ est la fonction �tudi�e dans la partie A.
\item \'Etudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour $x\in\R$.
\item En d�duire la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}