\begin{enumerate}
\item Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x+2}=0$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathscr{S}=\varnothing}$

\item Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x^5+x+1}=-1$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathscr{S}=\varnothing}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x+3}=\e^{-2x-5} & \iff 2x+3=-2x-5\\
& \iff 4x=-8\\
& \iff x=-2
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\e^{2x+3}=\e^{-2x-5}$ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{-2\}}$

\newpage

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{5x+2}=\e^{3x+1} & \iff 5x+2=3x+1\\
& \iff 2x=-1\\
& \iff x=-\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\e^{5x+2}=\e^{3x+1}$ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x^2-1}=\e^{2x^2+3x-2} & \iff x^2-1=2x^2+3x-2\\
& \iff x^2+3x-1=0
\end{aligned}$

Le discriminant de $x^2+3x-1$ est $\Delta=9+4=13$ donc il y a deux solutions :
\[
x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}.
\]
Donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}~;~\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2} \right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
5-2\e^{3x+2}=3 & \iff -2\e^{3x+2}=-2\\
& \iff \e^{3x+2}=1\\
& \iff \e^{3x+2}=\e^0\\
& \iff 3x+2=0\\
& \iff x=-\dfrac{2}{3}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $5-2\e^{3x+2}=3$ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
2+3\e^{2x}=5 & \iff 3\e^{2x}=3\\
& \iff \e^{2x}=1\\
& \iff \e^{2x}=\e^0\\
& \iff 2x=0\\
& \iff x=0
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $2+3\e^{2x}=5 $ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{0\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
7-4\e^{5x-3}=3 & \iff -4\e^{5x-3}=-4\\
& \iff \e^{5x-3}=1\\
& \iff \e^{5x-3}=\e^0\\
& \iff 5x-3=0\\
& \iff x=\dfrac{3}{5}
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $7-4\e^{5x-3}=3$ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}\right\}}$
\end{enumerate}

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