\begin{enumerate}
\item $\e^{2x}-2\e^x+1=0$. On pose $X=\e^x$. Ainsi, comme $\e^{2x}=\big(\e^x\big)^2$, l'équation est équivalente à :
\[ X^2-2X+1=0 \iff (X-1)^2=0 \iff X=1 \iff \e^x=1 \iff x=0. \]
L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{0\}}$

\item $\e^{2x}+\e^x-2=0$. On pose $X=\e^x$ et l'équation devient :
\[ X^2+X-2=0. \]
Le discriminant du polynôme $X^2+X-2$ est $\Delta=9$ donc il admet deux racines :
\[ X_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+3}{2}=1.\]
Ainsi, 
\[ \e^{x_1}=-2\qquad\text{et}\qquad \e^{x_2}=1. \]
Une exponentielle étant strictement positive, $\e^{x_1}=-2$ est impossible.

$\e^{x_2}=1\iff x_2=0$ donc l'ensemble solution est $\boxed{\mathscr{S}=\{0\}}$

\item $2\e^{2x}-7\e^x+3=0 \iff 2X^2-7X+3=0$ avec $X=\e^x$. 

Le discriminant de $2X^2-7X+3$ est $\Delta=49-4\times2\times3=25>0$ donc il admet deux racines :
\[
X_1=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{1}{2}=\e^{x_1} \iff x_1=\ln\dfrac{1}{2}=-\ln2
\]
et
\[
X_2=\dfrac{7+5}{4}=3=\e^{x_2} \iff x_2=\ln3.
\]
L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{-\ln2~;~\ln3\}}$

\item $6\e^{2x}+\e^x-1=0 \iff 6X^2+X-1=0$ avec $X=\e^x$.

Le discriminant de $6X^2+X-1$ est $\Delta=25$ donc le polynôme admet deux racines :
\[
X_1=\dfrac{-1-5}{12}=-\dfrac{1}{2}=\e^{x_1}\quad\text{impossible car $\e^x>0$ pour tout réel $x$}
\]
et
\[
X_2=\dfrac{-1+5}{12}=\dfrac{1}{3}=\e^{x_2} \iff x_2=\ln\dfrac{1}{3}=-\ln3.
\]
L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{-\ln3\}}$
\end{enumerate}