\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0 & \iff X^2+X-2\geqslant0\text{ avec $X=\e^x$}\\
& \iff (X-1)(X+2)\geqslant0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\
& \iff \big(\e^x-1\big)\big(\e^x+2\big)\geqslant0\\
& \iff \e^x-1\geqslant0\text{ (car }\e^x+2>0\text{ pour tout réel }x)\\
& \iff \e^x\geqslant1\\
& \iff x\geqslant0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\intervFO{0}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0 & \iff X^2-2X+1\leqslant0\text{ avec }X=\e^x\\
& \iff (X-1)^2\leqslant0\\
& \iff (X-1)^2=0\text{ car }(X-1)^2\text{ est toujours positif ou nul}\\
& \iff X=1\\
& \iff \e^x=1\\
& \iff x=0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{0\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
6\e^{2x}+\e^x-1\leqslant0 
& \iff 6X^2+X-1\leqslant0\text{ avec }X=\e^x\\
& \iff (3X-1)(2X+1)\leqslant0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\
& \iff \big(3\e^x-1\big)\big(2\e^x+1\big)\leqslant0\\
& \iff 3\e^x-1\leqslant0\text{ (car }2\e^x+1>0\text{ pour tout réel }x)\\
& \iff \e^x\leqslant\dfrac{1}{3}\\
& \iff x\leqslant-\ln3
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\intervOF{-\infty}{-\ln3}}$

\item $\begin{aligned}[t]
2\e^{2x}-7\e^x+3<0 & \iff 2X^2-7X+3<0\text{ avec }X=\e^x\\
& \iff (2X-1)(X-3)<0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\
& \iff \big(2\e^x-1\big)\big(\e^x-3\big)<0
\end{aligned}$

De plus, $\boxed{\begin{aligned}[t]
2\e^x-1>0 & \iff \e^x>\dfrac{1}{2}\\
& \iff x>-\ln2
\end{aligned}}$ et  $\boxed{\begin{aligned}[t]
\e^x-3>0 & \iff \e^x>3\\
& \iff x>\ln3
\end{aligned}}$, d'où le tableau suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10,lgt=5]{$x$/0.5,$2\e^x-1$/0.5,$\e^x-3$/0.5,$\big(2\e^x-1\big)\big(\e^x-3\big)$/0.8}{$-\infty$,$-\ln2$,$\ln3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation $2\e^{2x}-7\e^x+3<0$ est donc $\boxed{\mathscr{S}=\intervOO{-\ln2}{\ln3}}$
\end{enumerate}