\exercice[style=R,N=2,verif]{Fonction $f:x\mapsto\frac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}$}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}. \]
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est impaire.
\item Calculer $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}$.

En déduire les variations de $f$ sur $\R$.

\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}