
Nous savons que si deux plans se coupent, alors leur intersection est une droite. Il nous faut donc trouver une représentation paramétrique de cette droite pour chacune des questions.

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\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):3x-y+z=7 \\ (\mathcal{P}_2):-x+3y+2z=1\end{array} \right. & \iff \left\lbrace\begin{array}{l} 3x-y+z=7 \\ 8y+7z=10 \ (L_2) \leftarrow (L_1)+3(L_2)\end{array}\right.
\\
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} 3x-y+z=7 \\ y=\frac{5}{4}-\frac{7}{8}z \end{array}\right.
\\
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{11}{4}-\frac{5}{8}z \\ y=\frac{5}{4}-\frac{7}{8}z \end{array}\right.
\end{aligned}$

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Ainsi, une représentation paramétrique de l'intersection de $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ est :
\[ \boxed{\left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{11}{4}-\frac{5}{8}t \\[6pt] y=\frac{5}{4}-\frac{7}{8}t \\[6pt] z=t \end{array}\right., t \in\R}\]

\item $\begin{aligned}[t]
\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):x+y+z=1 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y+z=4\end{array} \right.
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} x+y+z=1 \\ 5y+z=-2 \ (L_2) \leftarrow 2(L_1)-(L_2) \end{array} \right.\\
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} x+y+z=1 \\ z=-2-5y \end{array} \right.\\
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} x=3+4y \\ z=-2-5y \end{array} \right.\end{aligned}$

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Ainsi, une représentation paramétrique de l'intersection de $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ est :
\[\boxed{\left\lbrace\begin{array}{l} x=3+4t \\ y=t\\ z=-2-5t \end{array} \right., t \in\R} \]

\item $\begin{aligned}[t]
\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):2x-2y+3z=4 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y-3z=2\end{array} \right. & \iff \left\lbrace\begin{array}{l} 2x-2y+3z=4 \\ y+6z=2 \ (L_2)\leftarrow (L_1)-(L_2) \end{array} \right.\\
& \iff \left\lbrace\begin{array}{l} x=4-\frac{15}{2}z \\ y=2-6z \end{array} \right.\end{aligned}$

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Ainsi, une représentation paramétrique de l'intersection de $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ est :
\[ \boxed{\left\lbrace\begin{array}{l} x=4-\frac{15}{2}t \\ y=2-6t\\ z=t \end{array} \right.,t \in\R}\]
\end{enumerate}
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