\begin{enumerate}
\item Nous savons que si $\vv{u}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(\mathcal{P})$, alors une équation cartésienne du plan sera : \[ ax+by+cz+d=0\]
Nous savons ici que $\vv{AB}\begin{pmatrix}3-1\\ 2-1 \\0 - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ est normal à $(\mathcal{P})$ donc une équation de ce plan est : \[ 2x+y-z+d=0\]
Or, $B \in (\mathcal{P})$ donc ses coordonnées vérifient l'équation : \[ 2x_B+y_B-z_B+d=0\]
Soit : \[6+2+d=0 \]
Donc : \[ d=-8\]
Ainsi : \[ \boxed{(\mathcal{P}):2x+y-z-8=0}\]

\item Ici, la question est large ... En effet, l'énoncé ne nous dit pas quel type d'équation il faut établir : une équation cartésienne , paramétrique ou polaire ? On suppose qu'il s'agit ici d'une équation cartésienne.\\
Or, une équation cartésienne d'une sphère de centre $\coordEsp{x_A}{y_A}{z_A}$ et de rayon $r$ est :
\[ \left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2+\left(z-z_A\right)^2=r^2\]
On a : \[ \left\vert\left\vert \vv{AB} \right\vert\right\vert = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\]
Ainsi : \[ (\mathcal{S}): (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=\left(\sqrt{6}\right)^2\]
Soit :  \[ (\mathcal{S}): x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1=6\]
Ou encore : \[ \boxed{(\mathcal{S}): x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)=3}\]
\item
\begin{enumerate}
\item La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{Q})$ étant égale au rayon de la sphère $(\mathcal{S})$, on peut affirmer que le plan $(\mathcal{Q})$ est tangent à $(\mathcal{S})$.

\item La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{P})$ étant égale au rayon de la sphère $(\mathcal{S})$, on peut affirmer que le plan $(\mathcal{P})$ est tangent à $(\mathcal{S})$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Nous venons de montrer que les plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ étaient tous les deux tangents à la sphère $(\mathcal{S})$. Ainsi, s'ils sont parallèles, les points en lesquels ils sont tangents à $(\mathcal{S})$, c'est-à-dire $C$ et un autre point, que nous nommerons $C'\coordEsp{a}{b}{c}$, devraient être diamétralement opposés. \\
Ainsi :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x_A=\frac{x_C+a}{2}\\[6pt]
y_A=\frac{y_C+b}{2}\\[6pt]
z_A=\frac{z_C+c}{2}
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{l}
1=\frac{a}{2}\\[6pt]
1=\frac{2+b}{2}\\[6pt]
1=\frac{-1+c}{2}
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a=2\\
b=0\\
c=3
\end{array}
\right.
\]

Si $C' \in (\mathcal{P})$ alors ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de $(\mathcal{P})$ ; or :
\[ 2\times 2 + 0 - 3 - 8 = -7 \neq 0\]
Ce qui signifie que $C' \notin (\mathcal{P})$. Ainsi, $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ ne sont pas parallèles ; \underline{ils sont donc sécants.}

\item $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ sont sécants donc, si $M(x;y;z) \in (\mathcal{P}) \cap (\mathcal{Q})$, alors : \[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
2x+y-z-8=0\\
x-y+2z+4=0
\end{array}
\right.
\]
Donc, en ajoutant les deux lignes pour obtenir la nouvelle seconde ligne :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
2x+y-z-8=0\\
3x+z-4=0
\end{array}
\right.\quad,
\]
soit :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
2x+y-z-8=0\\
z=4-3x
\end{array}
\right.\quad.
\]
Ainsi :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
2x+y-(4-3x)-8=0\\
z=4-3x
\end{array}
\right.\quad,
\]
d'où :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
5x+y-12=0\\
z=4-3x
\end{array}
\right.\quad.
\]
Finalement, on a :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=12-5x\\
z=4-3x
\end{array}
\right.\quad.
\]
En posant $t=x$, on a alors :
\[ 
\boxed{ (\mathcal{D}):
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=t\\
y=12-5t\\
z=4-3t
\end{array}
\right., t \in \mathbb{R}}
\]

\item Injectons les coordonnées du point $A$ dans l'équation paramétrique de $(\mathcal{D})$ :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
1=t\\
1=12-5t\\
1=4-3t
\end{array}
\right.
\]
Ce système n'admet aucune solution ; en effet, la première ligne nous dit que $t=1$. Or, si nous remplaçons $t$ par 1 dans la seconde ligne, cela nous donne l'égalité : \og 1=7 \fg, ce qui est faux.

\medskip

\underline{Par conséquent, $A$ n'appartient pas à $(\mathcal{D})$.}

\item Montrons que le plan $(\mathcal{R})$ est le plan médiateur de $[BC]$.

\medskip

$\vv{BC}\begin{pmatrix}-3\\0\\-1\end{pmatrix}$ ; posons $I\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2};\frac{z_B+z_C}{2} \right)=\left(\frac{3+0}{2};\frac{2+2}{2};\frac{0-1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};2;-\frac{1}{2}\right)$ le milieu de $[BC]$.\\
Soit $M(x;y;z)$ un point du plan médiateur de $[BC]$. Alors : \[ \vv{IM}.\vv{BC}=0 \]
Soit : \[ -3\left(x-\frac{3}{2}\right)+0\times(y-2)-1 \times \left(z+\frac{1}{2}\right)=0\]
Soit : \[ -3x-z+4=0 \]

Les coordonnées du point $A$ vérifient cette dernière équation ; en effet, \mbox{$-3\times 1 - 1 + 4=0$}. Donc $A$ appartient au plan médiateur de $[BC]$.\\
De plus, n'importe quel point de $(\mathcal{D})$, de coordonnées $(t;12-5t;4-3t)$,$t \in\R$, appartient aussi à ce plan ; en effet, $-3t-(4-3t)+4=0$. 

\medskip

Ainsi, le plan défini par le point $A$ et par la droite $(\mathcal{D})$, c'est-à-dire $(\mathcal{R})$, est le plan médiateur de $[BC]$. \underline{Donc tout point de $(\mathcal{R})$ est équidistant des points $B$ et $C$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage