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\exercice[style=R,N=4,verif]{Polyn�sie, 2010}

Dans l'espace muni d'un rep�re orthonormal \Rijk, on consid�re :

\begin{itemize}
\item les points $A\coordEsp{1}{1}{1}$ et $B\coordEsp{3}{2}{0}$ ;
\item le plan $(\mathcal{P})$ passant par le point B et admettant le vecteur $\vv{AB}$ pour vecteur normal ;
\item le plan $(\mathcal{Q})$ d'�quation : $x-y+2z+4=0$ ;
\item la sph�re $(\mathcal{S})$ de centre $A$ et de rayon $AB$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une �quation cart�sienne du plan $(\mathcal{P})$ est : $2x+y-z-8= 0$
\item D�terminer une �quation de la sph�re $(\mathcal{S})$.
\item
\begin{enumerate}
\item On admet que la distance du point $A$ aux plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ est �gale � $\sqrt6$.

En d�duire que le plan $(\mathcal{Q})$ est tangent � la sph�re $(\mathcal{S})$.
\item Le plan $(\mathcal{P})$ est-il tangent � la sph�re $(\mathcal{S})$ ?
\end{enumerate}
\textcolor{red}{Ces deux questions ont �t� modifi�es par rapport au sujet original car elles faisaient intervenir une notion qui n'est plus au programme.}
\item On admet que le projet� orthogonal de$A$ sur le plan $(\mathcal{Q})$, not� $C$, a pour coordonn�es $\coordEsp{0}{2}{-1}$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que les plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ sont s�cants.
\item Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'intersection des plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$.\\
Montrer qu'une repr�sentation param�trique de la droite $(\mathcal{D})$ est :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=t\\
y=12-5t\\
z=4-3t
\end{array}
\right., t \in \mathbb{R}
\]
\item V�rifier que le point $A$ n'appartient pas � la droite $(\mathcal{D})$.
\item On appelle $(\mathcal{R})$ le plan d�fini par le point $A$ et la droite $(\mathcal{D})$.\\
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?\\
\og Tout point du plan  $(\mathcal{R})$ est �quidistant des points $B$ et $C$ \fg.\\
Justifier votre r�ponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
