\begin{enumerate}
\item On sait que (AD) et (BC) sont parallèles; de plus, (FG) et (BC) sont aussi parallèles.

Or, si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles.

Donc (AD) et (FG) sont parallèles. 

Or, il existe un unique plan contenant deux droites parallèles.

Donc A, D, F et G sont coplanaires.

\item Par un raisonnement analogue à celui de la réponse à la question précédente, on démontre que B, C, H et E sont coplanaires.

De plus, $\rm EH=BC$ donc BCHE est un parallélogramme.

Or, dans un parallélogramme, les diagonales se coupent (en leur milieu).

Ainsi, (BH) et (CE) sont sécantes.

\item
\begin{enumerate}
\item (DH) et (AE) sont parallèles; de plus, (AE) et (FB) sont parallèles. Donc (DH) et (BF) sont parallèles.

De plus, $\rm DH=BF$ donc DHFB est un parallélogramme. Ainsi, (FH) et (DB) sont parallèles.

\item Sur le plan (ABD), I est le milieu de [AB] et J celui de [AD] donc d'après le théorème des milieux, (IJ) et (BD) sont parallèles.

Or, d'après la question précédente, (BD) et (FH) sont parallèles donc (IJ) et (FH) sont parallèles.
\end{enumerate}

\item Complétons la figure :

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (F) at (3,3);
\coordinate (E) at (0,3);
\coordinate (D) at (1,1);
\coordinate (C) at (4,1);
\coordinate (G) at (4,4);
\coordinate (H) at (1,4);
\coordinate (I) at (1.5,0);
\coordinate (J) at (0.5,0.5);
\coordinate (O) at ($(J)+(-0.5,-3.5)$);
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (F) node[above] {F} -- (E) node[above left] {E} -- (H) node[above] {H} -- (G) node[above right] {G} -- (C) node[right] {C} -- (B);
\draw (A) -- (E);
\draw (F) -- (G);
\draw[dashed] (A) -- (D) -- (H);
\draw[dashed] (D) node[above right] {D} -- (C);
\fill (I) circle (1.5pt) node[below right] {I};
\fill (J) circle (1.5pt) node[right] {J};
\draw[dotted] (F) -- (I) -- ($(I)+(-1.5,-3)$);
\draw[dotted] (H) -- (J) -- (O) node[below] {$\Omega$};
\draw[red,thick] (A) -- (O) -- (0.75,0);
\draw[red,dashed,thick] (A) -- (H) -- (D) -- (0.75,0);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\linewidth-5.1cm}
(IJ) et (FH) sont parallèles donc I, J, F et H sont coplanaires.

De plus, $\rm IJ=\dfrac{1}{2}DB=\dfrac{1}{2}FH$ donc IJHF n'est pas un parallélogramme. (IF) et (JH) ne sont donc pas parallèles. De plus, elles sont coplanaires, donc elles sont sécantes.

\medskip

I milieu de $\rm[\Omega F]$ et J milieu de $\rm[\Omega H]$.

De plus, $\rm IJ=\dfrac{1}{2}HF$ donc I et J sont les milieux respectifs de $\rm[\Omega F]$ et $\rm[\Omega H]$.

J est le milieu de $\rm[\Omega H]$ et de [AD]. Par conséquent, AHD$\Omega$ est un parallélogramme.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\newpage