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\exercice[style=R,N=2,verif]{Décomposition en éléments simples de $f(x)=\frac{1}{x^3-2x^2-5x+6}$}

Soit $f$ une fonction définie par : \[ f(x)=\frac{1}{x^3-2x^2-5x+6}. \]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\alpha = 1$ est une racine du polynôme $x^3-2x^2-5x+6$.
\item En déduire ses deux autres racines, que l'on note $\beta$ et $\gamma$, $\beta<\gamma$.
\item Déterminer les réels $A$, $B$ et $C$ tels que : \[ f(x)=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{x-\beta}+\frac{C}{x-\gamma}\]
\textit{Aide : on pourra s'aider de $(x-\alpha)f(x)$, $(x-\beta)f(x)$ et $(x-\gamma)f(x)$.}
\item En déduire la valeur de $\dint_{4}^5 f(x)\dx$.
\end{enumerate}

