
Considérons la fonction $f(x)=\sqrt{4x-x^2}$ définie sur \intervFF{0}{4}.

Sa représentation graphique est un demi-cercle de centre $A(2;0)$ situé au-dessus de l'axe des abscisses.

En effet, on a  : 
\[ 
\begin{array}{lcll}
y & = & \sqrt{4x-x^2} & , y \geqslant 0\\
y^2 & = & 4x-x^2 & , y \geqslant 0\\
0 & = & x^2-4x+y^2 & , y \geqslant 0\\
0 & = & (x-2)^2-4+y^2 & , y \geqslant 0\\
4 & = & (x-2)^2+y^2 & , y \geqslant 0
\end{array}
\]

Cette dernière équation cartésienne est celle du demi-cercle de centre $A(2;0)$ et de rayon $r=2$.

\medskip

Ainsi, $I$ représente l'aire de ce demi-cercle. Donc $I=\dfrac{\pi r^2}{2}$ soit \underline{$I=2\pi$}.