
D'après l'aide donnée dans l'énoncé,
\begin{align*}
\mathcal{V} & = \pi\dint_{-1}^{\frac{\pi}{2}} \left(f(x)\right)^2\dx\\[6pt]
& = \underbrace{\pi\dint_{-1}^{0} \left(f(x)\right)^2\dx}_{\textrm{volume de la demie-sphère de rayon 1}} + \pi\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \left(f(x)\right)^2\dx\\[6pt]
& = \dfrac{2\pi}{3}+\pi\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\dx\\[6pt]
& = \dfrac{2\pi}{3}+\pi\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\right)\dx\\[6pt]
& = \dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\left[\frac{1}{2}\sin 2x + x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[6pt]
& = \boxed{\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi^2}{4}}
\end{align*}