\exercice[style=R,N=3,verif]{$I_n=\int_0^1 \frac{\e^{nx}}{\e^x+1}\dx$}
On considère la suite \suite{I}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[ I_n= \int_0^1 \frac{\e^{nx}}{\e^x+1}\dx. \]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$ et $I_0+I_1$. En déduire $I_0$.
\item Exprimer $I_n+I_{n+1}$ pour tout entier naturel non nul $n$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{I}{n}{} est croissante.
\item Montrer que pour tout réel $x$ compris entre 0 et 1, on a : 
\[ \frac{\e^{nx}}{\e+1} \leqslant \frac{\e^{nx}}{\e^x+1} \leqslant \frac{1}{2}\e^{nx} .\]
En déduire un encadrement de $I_n$.
\end{enumerate}
\item En déduire $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{I_n}{\e^n}$ .
\end{enumerate}