\exercice[style=R,N=3,verif]{$\phi(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{(1+t)^3}\textrm{d}t$}

On consid�re la fonction $\phi$ d�finie sur \intervFO{1}{+\infty} par : 
\[ \phi(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{(1+t)^3}\dx[t].\]
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $\phi$.
\item Montrer que $\dfrac{1}{t(t+1)^2}=\dfrac{a}{t}+\dfrac{b}{t+1}+\dfrac{c}{(t+1)^2}$, o� $a$, $b$ et $c$ sont trois r�els que l'on pr�cisera.
\item Soit $x \geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la valeur de $\dint_1^x \frac{\dx[t]}{t(t+1)^2}$.
\item On pose $\Phi(t)=-\dfrac{\ln t}{2(t+1)^2}$.

Calculer $\Phi^\prime(t)$ et en d�duire une expression de $\phi(x)$ en fonction de $x$.

\item Montrer que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{(1+x)^2}=0$.

En d�duire que : \[\lim_{x \rightarrow +\infty} \phi(x)=\dfrac{1}{2}\left(\ln 2 - \dfrac{1}{2} \right).\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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