\partie{A : \'Etude des variations de la fonction}

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u^2$, avec $u(x)=\ln(x+1)$.\\
Donc $f' = 2u'u$, avec $u'(x)=\dfrac{1}{x+1}$.\\
D'où :
\[
\boxed{f'(x)=\dfrac{2\ln(x+1)}{x+1}.}
\]

\item Si $x\geqslant0$, alors $x+1\geqslant1$ et donc $\ln(x+1)\geqslant0$.\\
\underline{Ainsi, $f'(x)$ est strictement positive donc $f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}.}

\item $f(0)=\left(\ln(0+1)\right)^2=0$ et $f(1)=\left(\ln(1+1)\right)^2=\ln2$. On a le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=violet!10,colorV=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.5,$f$/1}{0,1}
\tkzTabVar{-/0,+/$\ln2$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f'(0)=\dfrac{2\ln(0+1)}{0+1}=0$ donc la tangente à $\mathscr{C}$ en 0 est horizontale. Or, $f(0)=0$ donc $\mathscr{T}$ est l'axe des abscisses.

\item ~\par 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray!30] (0,0) grid (10,5);
\draw[thick,->] (0,0) -- (11,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,6);
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (10,0.1) -- (10,-0.1) node[below] {1};
\node[left] at (0,5) {0,5};
\draw[very thick,->,red] (0,0) -- (3,0);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=0:10,samples=70] (\x,{10*(ln(\x/10+1)*ln(\x/10+1)}) node[above left] {$\mathscr{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}


\partie{B : Calcul de l'approximation de l'aire}

\begin{enumerate}
\item ~\par 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray!30] (0,0) grid (10,5);
\draw[thick,->] (0,0) -- (11,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,6);
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (10,0.1) -- (10,-0.1) node[below] {1};
\node[left] at (0,5) {0,5};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=0:10,samples=70] (\x,{10*(ln(\x/10+1)*ln(\x/10+1)}) node[above left] {$\mathscr{C}$};
\foreach \k in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\filldraw[draw=green!50!black,fill=green!20,opacity=0.3] (\k,0) rectangle+(1,{10*(ln(\k/10+1)*ln(\k/10+1)});
	\node[below] at ({\k+0.5},0) {\small $R_\k$};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'aire du rectangle $R_k$ est :
\[ A_k=\dfrac{1}{10}\times f\left(\dfrac{k}{10}\right)\;,\]
où $\dfrac{1}{10}$ représente la mesure de la largeur et  $f\left(\dfrac{k}{10}\right)$ sa longueur.

La somme des aires des rectangles est :
\begin{align*}
A & = \displaystyle\sum_{k=0}^9 \dfrac{1}{10}\times f\left(\dfrac{k}{10}\right)\\
& = \dfrac{1}{10}\left(f(0)+f(1)+\cdots+f(9)\right)\\
\Aboxed{A& \approx0,165~\text{u.a.}}\\
& \approx0,165\times100~\text{cm}^2\\
\Aboxed{A & \approx 16,487~\text{cm}^2}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\dint_0^1 f(x)\dx & =F(1)-F(0)\\
& = 2(\ln2)^2-4\ln2+4\\
& \approx 0,188
\end{aligned}$

L'aire de $\mathscr{D}$ est donc égale à $2(\ln2)^2-4\ln2+4$ u.a., soit environ 0,188 u.a.
\end{enumerate}