\exercice[style=A,N=3,verif]{Approximation d'une aire}

L'objectif de cet exercice est de déterminer une approximation de l'aire du domaine $\mathscr{D}$ défini par :
\[
\mathscr{D}=\{0\leqslant x\leqslant1, 0\leqslant y\leqslant f(x) \}
\]
où
\[
\forall x\in\R,\qquad f(x)=\left(\ln(1+x)\right)^2.
\]

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Rij{}, avec pour unité graphique : $\|\vv{\imath}\|=\|\vv{\jmath}\|=10~\text{cm}$.

\partie{A : étude des variations de la fonction}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item En déduire les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur \intervFF{0}{1}.
\item Calculer $f'(0)$. En déduire l'équation de la tangente $\mathscr{T}$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer dans \Rij{} $\mathscr{C}$ en faisant appara\^itre la tangente $\mathscr{T}$.
\end{enumerate}

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\partie{B : Calcul de l'approximation de l'aire}


On considère :

\begin{itemize}
\item Les points $A_k\coord{\dfrac{k}{10}}{0}$ pour tout entier naturel $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant10$ ;
\item Les rectangles $R_k$ de base $\left[A_kA_{k+1}\right]$ et de hauteur $f\left(\dfrac{k}{10}\right)$ pour tout entier naturel $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 9$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique précédent, dessiner les rectangles $R_k$, $0\leqslant k\leqslant 9$.

\item Calculer la somme des aires des rectangles $R_k$ pour $k$ compris entre 0 et 9. On donnera le résultat en unité d'aire et en cm$^2$ à $10^{-3}$ près.

\item On suppose que la fonction $F$ définie par :
\[
F(x)=(x+1)\left[\left(\ln(x+1)\right)^2-2\ln(x+1)+2 \right]
\]
est une primitive de $f$ sur \intervFF{0}{1}.\\
En déduire la valeur exacte, puis approchée à $10^{-3}$ près, de l'aire de $\mathscr{D}$.\\
Calculez l'erreur entre cette valeur et celle obtenue à la question précédente.
\end{enumerate}
