\exercice[style=R,N=5,verif]{Avec une exponentielle}

On considère sur \intervFO{0}{+\infty} la fonction $f_n$ telle que :
\[
f_n(x)=x^n\e^x\qquad,\qquad n\in\N.
\]

On pose alors, pour tout réel $x$ positif,
\[
F_n(x)=\int_0^xf_n(t)\dx[t].
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant1$,  $F_n(x)=x^n\e^x-nF_{n-1}(x)$.
\end{enumerate}

On considère la suite \suite{I}{n}{n\in\N} définie par : $I_n=F_n(1)$. D'après le résultat précédent, on a :
\[ \forall n\in\N,\qquad I_{n+1}=\e-(n+1)I_n. \]

\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que \suite{I}{n}{n\in\N} est décroissante.
\item Montrer alors que \suite{I}{n}{n\in\N} converge.
\item Calculer $I_0$, $I_1$, $I_2$, $I_3$ et $I_4$.
\item Montrer par récurrence qu'il existe deux suites \suite{a}{n}{n\in\N} et \suite{b}{n}{n\in\N} telles que, pour tout entier naturel $n$, $I_n=a_n\e+b_n$, avec pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=1-(n+1)a_n\\b_{n+1}=-(n+1)b_n\end{cases}$.
\item On rappelle la notation : $n!=1\times2\times3\times\cdots\times n$ pour tout entier naturel $n$. À l'aide de cette notation, conjecturer une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis démontrer cette conjecture.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $a_n=n!\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{(-1)^{n-k}}{k!}$.
\item \'Ecrire un algorithme et/ou un programme Python permettant de calculer les coefficients $a_n$ et $b_n$ du terme $I_n$.
\end{enumerate}