\exercice[style=R,N=5,verif]{$I_n=\int_1^\e ( \ln x )^n\dx$}
\begin{enumerate}
\item\label{q1-ts-int-14} On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle \intervFF{a}{b}. 

On pose alors $f(x)=u(x)v(x)$.

À l'aide de $f'(x)$, montrer que :
\[
\int_a^b u'(x)v(x)\dx=f(b)-f(a)-\int_a^b u(x)v'(x)\dx\;.
\]
\end{enumerate}

On considère la suite \suite{I}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
I_n=\int_1^\e ( \ln x )^n\dx\;.
\]

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Pour tout entier naturel $n$, quel est le signe de $I_n$ ?
\item Montrer que \suite{I}{n}{} est décroissante. Que peut-on alors en déduire ?
\item En écrivant $(\ln x)^n$ sous la forme $x\times\dfrac{1}{x}(\ln x)^n$ et à l'aide de la question \ref{q1-ts-int-14}, montrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[
I_{n+1}+(n+1)I_n=\e.
\]
\item 
\begin{enumerate}
\item En considérant cette dernière relation de récurrence pour $n=0$ et $n=1$, montrer que\linebreak $I_2=I_0-I_1$.
\item Calculer $I_0$.
\item Montrer que la fonction $L$ définie par $L(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $\ln$.

En déduire la valeur de $I_1$, puis celle de $I_2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}