\begin{itemize}
\item $f(-x)=f(x)$ et le domaine de définition de $f$ est centré en 0.

La fonction $f$ est donc paire. On peut donc l'étudier sur \intervFO{0}{+\infty}.

\item \raisebox{-1.5em}{$\begin{rcases*}
\limite{x}{+\infty}{\left(x^2+1\right)}=+\infty\\
\limite{X}{+\infty}{\dfrac{\ln X}{X}}=0
\end{rcases*}\Rightarrow\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=0}$}

De plus, $f(0)=\dfrac{\ln 1}{1}=0$.

\newpage

\item D'après l'exercice précédent, $f'(x)=\dfrac{2x\left[1-\ln\left(x^2+1\right)\right]}{\left(x^2+1\right)^2}$.

Sur \intervFO{0}{+\infty}, $2x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-\ln\left(x^2+1\right)$.\\
$\begin{aligned}[t]
1-\ln\left(x^2+1\right)>0 & \iff\ln\left(x^2+1\right)<1\\
&\iff x^2+1< \e^1\\
&\iff x^2<\e-1\\
&\iff 0<x<\sqrt{\e-1}
\end{aligned}$

\medskip

On obtient alors le tableau de variations suivant sur \R{}:
\begin{center}
\shorthandoff{:}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.7,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$-\sqrt{\e-1}$,0,$\sqrt{\e-1}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,0,-,0,+,0,-}
\tkzTabVar{-/0,+/$\e^{-1}$,-/0,+/$\e^{-1}$,-/0}
\end{tikzpicture}
\shorthandon{:}
\end{center}

$\begin{aligned}[t]
f\left(\sqrt{\e-1}\right) & = \dfrac{\ln(\e-1+1)}{\e-1+1}\\
& = \dfrac{1}{\e}\\
& = \e^{-1}
\end{aligned}$
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=10]
\draw[gray!50] (-8,0) grid[ystep=0.1] (8,0.5);
\draw[->,>=stealth',thick] (-8,0) -- (8,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (0,0.5);
\draw[very thick,violet] plot[domain=-8:8,samples=70] (\x,{(ln(\x*\x+1))/(\x*\x+1)});
\foreach\x in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
{
	\draw[thick] (\x,0.01) -- (\x,-0.01) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (0.1,{\y/10}) -- (-0.1,{\y/10}) node[left] {0,\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
