\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1$.\\
Or, pour $x\geqslant1$, $0<\dfrac{1}{x}\leqslant1$, et donc $f'(x)\leqslant0$.\\
La fonction $f$ est donc décroissante sur \intervFO{1}{+\infty}.

\item $f(1)=-1$, donc $f(x)<0$ sur \intervFO{1}{+\infty}. Donc $\ln x<x$ sur cet intervalle.\\
De plus, on sait que pour $x\geqslant1$, $\ln x\geqslant0$.\\
On en déduit alors que sur \intervFO{1}{+\infty}, $0\leqslant\ln x<x$.

\item Posons $x=\sqrt{u}$, $u\geqslant1$.\\
Alors, de ce qui précède, on déduit que \[0\leqslant\ln\sqrt{u}<\sqrt{u}.\] Ainsi, en divisant par $u$, on a : \[0\leqslant\dfrac{\ln\sqrt{u}}{u}<\dfrac{\sqrt{u}}{u},\] on encore :
\[
0\leqslant\dfrac{\frac{1}{2}\ln u}{u}<\dfrac{1}{\sqrt{u}}.
\]
Que l'on mette $u$ ou $x$ importe peu. Ainsi,
\[ 
\forall x\in\intervFO{0}{+\infty},\ 0\leqslant\dfrac{\ln x}{2x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\ln x}{2x}}=0$. Multiplier l'expression par $\dfrac{1}{2}$  ne change pas la limite, donc $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{\ln x}{x}}=0$.
\end{enumerate}