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\exercice[style=R,N=2,verif]{Démonstration de cours : \limite{x}{+\infty}{\frac{\ln x}{x}}}

On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\ln x-x.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur \intervFO{1}{+\infty}.
\item En déduire que pour $x\geqslant1$, $0\leqslant\ln x<x$.
\item Déduire alors que pour $x\geqslant1$, $0\leqslant\dfrac{\ln x}{2x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
\item Calculer alors \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}.
\end{enumerate}