\begin{enumerate}
\item $f$ est définie pour tout $x$ tel que $x^2-2x+1>0$, c'est-à-dire lorsque $(x-1)^2>0$.

\uline{Ainsi, $\mathscr{D}=\R\setminus\{1\}$.}

\item 
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{(x-1)}=-\infty$ et $\limite{x}{-\infty}{\ln(x^2-2x+1)}=\limite{x}{-\infty}{\ln(x^2)}=+\infty$ donc $\boxed{\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty}$.

\item Par un raisonnement analogue, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.

\item $f(x)=(x-1)\ln\left[(x-1)^2\right]$.
\begin{itemize}
\item Si $x>1$, $f(x)=2(x-1)\ln(x-1)$. En posant $X=x-1$, on a $f(X)=2X\ln X$ avec $X\to0$ quand $x\to1$. Or, $\limite{X}{0}{X\ln X}=0$. Ainsi, $\boxed{\limite[x>1]{x}{1}{f(x)}=0}$.
\item Si $x<1$, $f(x)=-2(1-x)\ln(1-x)$. Par un raisonnement analogue à ce qui précède, en posant $X=1-x$, $\boxed{\limite[x<1]{x}{1}{f(x)}=0}$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \ln\left(x^2-2x+1\right)+(x-1)\times\dfrac{2x-2}{x^2-2x+1}\\
& = \ln\left[(x-1)^2\right]+\dfrac{2(x-1)^2}{(x-1)^2}\\
\Aboxed{f'(x)& = \ln\left[(x-1)^2\right]+2}
\end{aligned}$

\item  $\begin{aligned}[t]
f'(x)>0 & \iff \ln\left[(x-1)^2\right]+2>0\\
& \iff \ln\left[(x-1)^2\right]>-2\\
& \iff (x-1)^2 > \e^{-2}\\
& \iff (x-1)^2 - \left(\e^{-1}\right)^2>0\\
& \iff \left(x-1-\e^{-1}\right)\left(x-1+\e^{-1}\right)>0
\end{aligned}$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.5,$x-1-\e^{-1}$/0.5,$x-1+\e^{-1}$/0.5,$f'(x)$/0.5}{$-\infty$,$1-\e^{-1}$,1,$1+\e^{-1}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

$\begin{aligned}[t]
f\left(1-\e^{-1}\right) & 
= (1-\e^{-1}-1)\ln\left[ \left(1-\e^{-1}-1\right)^2\right]\\
& = -\e^{-1}\ln\left(\e^{-2}\right)\\
& = -\e^{-1}\times(-2)\\
& = 2\e^{-1}.
\end{aligned}$

\medskip

De m\^eme, $f\left(1+\e^{-1}\right)=-2\e^{-1}$.


On en déduit alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$1-\e^{-1}$,$1+\e^{-1}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$2\e^{-1}$,-/$-2\e^{-1}$,+/$+\infty$}
\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{1}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
