\exercice[style=A,N=2,verif]{ Comparaison de $\pi^\e$ et $\e^\pi$}

\textit{Dans cet exercice, on acceptera la propri�t� suivante :}
\[
\text{Pour tous r�els $a$ et $b$, }\qquad a\ln b = \ln \big(b^a\big).
\]
\textit{(Dans le cours, nous avons vu qu'elle �tait vraie pour $a$ et $b$ \uline{entiers} seulement)}

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On consid�re la fonction $f$ d�finie pour tout r�el $x$ strictement positif par : \[ f(x)=\e\ln x - x. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$.
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$ et �tudier les variations de $f$. Dresser un tableau de variations de $f$.
\item Comparer alors les nombres $\pi^\e$ et $\e^\pi$.
\end{enumerate}
