\exercice[style=R,N=3,verif]{Concentration de bact�ries dans le corps}

Lorsque l'on prend des antibiotiques, la concentration de bact�ries pr�sentes dans le corps d'une personne malade diminue avec le temps en suivant le mod�le d'une fonction $f$ d�finie, pour $0\leqslant t\leqslant 6$, par :
\[ f(t)=a\e^{kt}+b\quad,\quad a,\ b,\ k\ \text{�tant trois r�els},\ \text{avec }a\neq0,\]
o� $t$ d�signe le temps (exprim� en jour) et o� $f(t)$ repr�sente le taux de bact�ries restantes.\\
Ainsi, $f(0)=1$. On suppose que la totalit� des bact�ries sont �limin�es apr�s 6 jours. Donc $f(6)=0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(t)=a\e^{\frac{1}{6}\ln\left(1-\frac{1}{a}\right)t}+1-a$.
\item On sait que \pourcent{50} des bact�ries disparaissent au bout de deux jours.\\
En d�duire que $a\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{a}\right)}+\dfrac{1}{2}-a=0$.

\medskip

\hskip-2.5em Pour tout nombre r�el $x>1$, on pose :
\[g(x)=x\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}-x+\frac{1}{2}.\]

\item Montrer que $g'(x)=\left(1+\dfrac{1}{3x-3}\right)\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}-1$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{+\infty}{g'(x)}.
\item On admet que $g''(x)=\dfrac{-2}{9x(x-1)}\e^{\frac{1}{3}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}$.\\
En d�duire les variations de la fonction $g'$ puis celles de la fonction $g$ sur \intervOO{1}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item Montrer alors que l'�quation $g(x)=0$ admet une unique solution, not�e $\alpha$, sur \intervOO{1,3}{1,4}.\\
On admet que $\alpha\approx1,309$.
\end{enumerate}